sábado, 23 de febrero de 2013



Transformada de Laplace y Series de Fourier


Breve reseña histórica  de Pierre Simon Laplace

        De `un breve relato de la historia de las matemáticas" (4 ª edición, 1908) por Ball WW Rouse.
Pierre Simon Laplace nació en Beaumont-en-Auge, en Normandía el 23 de marzo de 1749, y murió en París el 5 de marzo de 1827. Él era el hijo de un aldeano pequeño o tal vez un trabajador del campo, y debía su educación al interés despertado en algunos vecinos ricos por sus capacidades y presencia atractiva. Muy poco se sabe de sus primeros años, ya que cuando él se distinguió tuvo la mezquindad de mantener a sí mismo al margen tanto de sus parientes y de los que le habían ayudado. Al parecer, según un alumno se convirtió en un ujier en la escuela de Beaumont, pero, después de haber adquirido una carta de presentación a D'Alembert, se fue a París para impulsar su fortuna. Un documento sobre los principios de la mecánica emocionado D'Alembert interés, y en su recomendación de un lugar en la escuela militar se ofreció a Laplace.

        Asegure de una competencia, Laplace ahora se lanzó a la investigación original, y en los próximos diecisiete años, 1771-1787, produjo gran parte de su obra original en la astronomía. Esto comenzó con un libro de memorias, leyó ante la Academia Francesa en 1773, en la que mostró que los movimientos planetarios se mantuvieron estables, y realizó la prueba en cuanto a los cubos de las excentricidades e inclinaciones. Esto fue seguido por varios artículos sobre los puntos del cálculo integral, diferencias finitas, ecuaciones diferenciales, y la astronomía.

        Durante los años 1784-1787 se produjo algunas memorias de un poder excepcional. Entre ellos se destaca una lectura en 1784, y reimpreso en el tercer volumen de la Celeste Méchanique, en la que determina totalmente la atracción de un esferoide sobre una partícula fuera de ella. Esto es memorable para la introducción en el análisis de armónicos esféricos o coeficientes de Laplace, como también para el desarrollo de la utilización del potencial  un primer nombre dado por Green en 1828.


Transformada de Laplace

        La transformada de laplace es un operador LINEAL muy útil para la resolución de ecuaciones
diferenciales.

        Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones
Algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f]

                                                      Definición 1. La transformada de Laplace de una función f(t), 
es una función L[f] de una variable real s dada por:
Ésta definida para todo  s 2 R donde la integral tenga sentido.





Propiedades de la Transformada de Laplace


        En el siguiente enlace estudiaremos las propiedades de la Transformada de Laplace:





Series de Fourier

        Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación de calor.

        Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

En el siguiente link podremos observar como se desarrolla la Serie de Fourier http://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/2_Tema-13.pdf

Tabla de Series de Fourier




Ejercicios Resueltos de la Transformada de Laplace y Series de Fourier:
        A continuación se mostrarán una serie de ejercicios paso a paso de la transformada de Laplace y Series de Fourier


        En esta oportunidad  para asigna el  valor a m utilizaremos los dos ultimos dígitos de la cédula, por ejemplo 20044163








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